228.43 Kb.Название Дата09.04.2012Размер228.43 Kb.Тип Содержание ... Смотрите также: Евгений Куланин, Алексей МякишевО некоторых кониках, связанных с треугольникомМосква 2007 Коники+треугольник: Terra incognita ? 1 Три задачи.Конические сечения (в просторечии коники) были открыты, насколько это известно, еще в IV веке до н.э. древнегреческим математиком Менехмом (учеником самого Платона). Решая задачу об удвоении куба, Менехм рассматривал сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его образующей. Затем весьма детальное (а в сущности, даже и полное) описание разнообразных свойств коник2 дал знаменитый геометр Аполлоний Пергский (трактат из восьми книг «Конические сечения» был создан в конце III века до н.э.). Без сомнения, в настоящее время каждый образованный человек, окончивший ВУЗ естественно-научного направления, хоть что-нибудь, хоть краем уха, а слышал о кониках. Кому-то повезло (впрочем, кому-то, может, и «повезло») повстречаться с ними еще в школе. Во всяком случае, в любом техническом ВУЗе свойства конических сечений обязательным порядком входят в стандартный курс аналитической геометрии. Но вот что можно заметить: в институте ли, в школе эти свойства изучаются обыкновенно в замкнутом, самодостаточном виде, как «вещь в себе» - рассказывается, разве что, о некоторых приложениях к задачам механики. А между тем, многие сложные и содержательные утверждения ^ Геометрии Треугольника тесно связаны с теми или иными кониками.3 Зачастую, обозревая ландшафт треугольника с высоты соответствующего конического сечения, удается вскрыть самую суть проблемы, добраться, по словам поэта, «до оснований, до корней, до сердцевины».4 Отметим также, что возникающие здесь коники продолжают и развивают всевозможные классические направления в планиметрии, нередко взаимодействуя с такими, например, объектами, как окружность Эйлера, прямая Валлиса Симсона и т.д. и т.п. Конечно, эксперты5 в области ^ Элементарной Геометрии прекрасно осведомлены о всяческих замечательных свойствах этих коник - чего, увы, не скажешь об основной массе любителей6. В настоящей статье мы попытаемся ознакомить читателя с некоторыми кониками, связанными с треугольником и показать, как применяются они к решению задач. И с этой целью рассмотрим три утверждения (автором которых является Евгений Куланин):1. Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через точки Жергонна и Нагеля, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Фейербаха7 лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне. 2. Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через его центроид и точку Лемуана, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Штейнера лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне. 3. Докажите, что гипербола Киперта касается описанного эллипса Штейнера тогда и только тогда, когда парабола Киперта касается вписанного эллипса Штейнера.Прежде чем переходить к доказательствам, предлагаем совершить небольшое путешествие в страну «треугольных» коник. Доказательство изложенных ниже фактов можно найти в [1],[2],[3],[5],[6],[8]. В первых трех работах упор делается именно на выявлении геометрического смысла происходящего, в то время как авторы трех остальных трудов (чрезвычайно богатых фактическим материалом) пользуются исключительно вычислениями. (Барицентрические координаты о которых см. также [4] могучий метод, посредством которого может быть доказана практически любая теорема геометрии треугольника. Жаль только - без малейшей геометрии, а чисто формальными выкладками). Мы особенно рекомендуем книжку [1], где геометрия коник предстает во всей своей красе. Некоторые сведенья из геометрии треугольника. Основные свойства «треугольных» коник. Замечательные точки треугольника. Строгого математического определения замечательной точки треугольника не существует. С интуитивной точки зрения, «степень замечательности» той или другой точки можно оценить дробью, в числителе которой количество нетривиальных свойств, связанных с этой точкой, а в знаменателе «сложность» ее построения8. Приведем некоторые примеры. Первая четверка известна с незапамятных времен. Точка пересечения медиан (центроид)G, точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности или инцентр) I, точка пересечения высот (ортоцентр) H, центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника) O. ^ Пятой (согласно [5],[6]) была обнаружена т.н. точка Ферма-Торричелли. Если построить на сторонах треугольника правильные треугольники вовне, то вершины эти
Евгений Куланин, Алексей Мякишев о некоторых кониках, связанных с треугольником Москва
Евгений Куланин, Алексей Мякишев о некоторых кониках, связанных с треугольником Москва
Комментариев нет:
Отправить комментарий